从三相到两轴：Clarke 变换
在三线制系统中三相电流之和恒为零，因此只有两个是独立的。Clarke 变换把 a、b、c 投影到两个相互垂直的轴上：α 沿 a 相方向，β 超前其 90°，α = (2/3)(a − b/2 − c/2)，β = (2/3)(√3/2)(b − c)。系数 2/3 使变换幅值不变：峰值为 1 的平衡三相量对应长度为 1、以电频率旋转的空间矢量。
αβ 图把沿 0°、120°、240° 三个轴的各相分量首尾相接，合成这个矢量。各分量随相电流伸缩，它们的和画出一个圆。
功率不变形式用 √(2/3) 代替 2/3。此时矢量长度变为 √(3/2) ≈ 1.22 倍，由变换后的量计算的功率直接等于三相功率：功率不变时 P = v_d·i_d + v_q·i_q，幅值不变时 P = (3/2)(v_d·i_d + v_q·i_q)。两者都正确，错误在于混用，例如电流限值按一种约定、转矩常数按另一种约定。在上方切换系数，圆会相应变大。
从静止到旋转：Park 变换
αβ 矢量仍在旋转，所以 α、β 仍是正弦量。Park 变换从以角度 θ 旋转的坐标轴上观察这个矢量：d = α·cos θ + β·sin θ，q = −α·sin θ + β·cos θ。当 θ 跟随矢量时，矢量在 dq 坐标系中静止，d、q 为常数。
本页采用 θ = 0 时 d 轴与 a 相轴重合的约定，因此没有相移的余弦 a 相电流对应 d 等于其幅值、q = 0。有些教材和软件库把 q 轴对准 a 相，或用正弦定义相电流，这会交换 d、q 的角色或改变符号。与其他资料比较数值前，请先确认其对齐方式。
负载角滑块使电流比给定滞后 φ。在本约定下滞后电流对应 d = cos φ、q = −sin φ，因此 φ 增大时 dq 图中的箭头顺时针转动。
如何看这四幅图
第一幅图显示相电流最近两个周期，当前时刻在右端。第二幅显示静止 αβ 平面中的空间矢量、随坐标系角度旋转的虚线 d、q 轴，以及最近一个周期的灰色轨迹。第三幅从旋转坐标系内部观察同一矢量，第四幅画出 d、q 随时间的变化。坐标系同步且无扰动时，第三幅图的箭头静止不动，第四幅图的曲线是水平直线。
扰动在 dq 中的样子
坐标系转速偏差：如果 θ 比电流快或慢一个比例 s，矢量就会在 dq 坐标系中转动，d、q 以 s·f 振荡。转速观测器或锁相环估计错误时就是这种表现；50 Hz 下 10 % 的偏差会在两个轴上产生 5 Hz 的拍频。
5 次谐波：三相量的 5 次谐波以 5f 反向旋转。从以 f 正向旋转的坐标系看，它以 −6f 旋转，因此在 d、q 上表现为 6f 纹波。逆变器死区是常见来源。7 次谐波以 7f 正向旋转，同样落在 6f。
负序分量：不平衡的三相量包含一个以 f 反向旋转的分量。它在 dq 坐标系中表现为 2f，αβ 平面中的轨迹变成椭圆。接在不平衡电网上的变换器正是遇到这种纹波，因此有些控制器增加一个以 −θ 旋转的第二坐标系来单独调节它。
零序分量：三相中完全相同的分量在 a − b/2 − c/2 和 b − c 中被精确抵消，因而没有 α、β 分量。它只出现在读数中的零序值 γ 上，d、q 不受影响。三线制系统中零序电流无法流通，但可以施加零序电压，三次谐波注入和空间矢量调制正是利用它来扩大线性调制范围。
在固件中
矢量控制器对测得的电流做 Clarke 变换，用转子或电网角度做 Park 变换，对 d、q 分别用 PI 调节，再经反 Park、反 Clarke 变换或空间矢量调制得到三相占空比。三线制系统中只有两路电流独立，因此许多驱动器只测两相，第三相按 −(a + b) 计算。
Park 变换所用的角度必须与电流采样属于同一时刻。如果电流在 PWM 周期的某一点采样，而角度取的是半个周期之后的值，坐标系就转过了 ω·Δt，表现为随转速增大的 d、q 交叉耦合。PWM、ADC 与控制中断之间的时序将在另一个可视化讲解中介绍。
动画严格按照本页给出的公式绘制。不同教材和软件库的约定各不相同，比较数值前请先确认所用代码的约定。