用 k 因子法设计 Type II 补偿器

常用电路是反相误差放大器。输出电压经分压上电阻 R1 接到反相输入端；从放大器输出回到该输入端的反馈网络由 R2 与 C1 串联构成，C2 再并联在这条支路两端。分压下电阻决定直流工作点，但由于反相输入端是虚地，它不会出现在小信号传递函数中。

传递函数

Gc(s) = (1 + s·R2·C1) / [ s·R1·(C1 + C2) · (1 + s·R2·C1·C2 / (C1 + C2)) ]

零点

f_z = 1 / (2π · R2 · C1)

极点

f_p = (C1 + C2) / (2π · R2 · C1 · C2) ≈ 1 / (2π · R2 · C2) (C1 ≫ C2 时)

低频段积分器带来 −90° 的相位。在零点和极点之间相位重新回升，并在两个频率的几何平均处达到峰值，这个峰值就是相位提升。极点和零点拉得越开，提升越大，但永远到不了 90°；而且间距拉大还会抬高高频增益，让更多开关纹波窜进环路。

在峰值电流模式控制下，电感大致相当于一个由控制电压设定的电流源，于是电压模式 Buck 的 LC 双极点分裂成由输出电容和负载形成的单个低频极点。在远低于开关频率的范围内，下面这个一阶模型已经足够准确：

控制-输出增益

Gvc(s) = (R / Ri) · (1 + s·ESR·C) / (1 + s·R·C)

负载极点

f_pl = 1 / (2π · R · C)

ESR 零点

f_esr = 1 / (2π · ESR · C)

其中 R 为负载电阻，C 为输出电容，Ri 为折算到误差放大器输出端的电流采样增益，单位为 V/A。很多控制器在 COMP 引脚和电流比较器之间还有内部增益或分压，所以 Ri 应按数据手册给出的 COMP 到电流的跨导来取，不能只看采样电阻。在负载极点和 ESR 零点之间，被控对象的相位基本停在 −90° 附近，这正是 Type II 补偿器所针对的情形。

该模型没有计入电流环的采样效应、斜坡补偿的细节以及误差放大器自身的带宽。下面的交互图可以加入采样效应，看看它会吃掉多少相位。

这种方法把零点放在穿越频率的 1/k 处、极点放在穿越频率的 k 倍处，使最大相位提升恰好落在穿越频率上。对于上面的 Type II 传递函数，只要知道被控对象在 fc 处的增益和相位，下列关系就是精确成立的，并非近似。

1. 1选定穿越频率 fc。对于峰值电流模式，常见的起点是 fs/10 或更低，同时要远高于负载极点。
2. 2计算被控对象在 fc 处的值：增益 |Gvc(fc)| 和相位 P（单位为度，是负数）。
3. 3选定相位裕度 PM，一般取 45° 到 60°，并算出所需的相位提升：Boost = PM − P − 90°。
4. 4计算 k = tan(Boost / 2 + 45°)。零点放在 fc/k，极点放在 fc·k。
5. 5补偿器在 fc 处的增益必须为 G = 1 / |Gvc(fc)|，这样环路增益在该频率处正好等于 1。
6. 6选定 R1（它同时决定分压电流），然后计算 C2 = 1 / (2π·fc·G·R1·k)、C1 = C2·(k² − 1) 和 R2 = k / (2π·fc·C1)。
7. 7取整到标准值，并用取整后的元件重新核对穿越频率和相位裕度。

所需相位提升

Boost = PM − P − 90°

k 因子

k = tan(Boost / 2 + 45°)

元件值

C2 = 1 / (2π·fc·G·R1·k), C1 = C2·(k² − 1), R2 = k / (2π·fc·C1)

修改功率级参数或设计目标，图中会重新计算元件值和环路。校核行里的穿越频率和相位裕度是直接从算出的环路上读取的，因此可以看到：对简化的被控对象，公式能准确命中目标；而一旦加入位于开关频率一半处的采样极点，结果又会偏离多少。

1. 1功率级：R = 12 V / 5 A = 2.4 Ω，C = 100 µF 陶瓷电容，总 ESR 为 3 mΩ，Ri = 0.25 V/A，fs = 500 kHz。负载极点在 663 Hz，ESR 零点约在 530 kHz。
2. 2目标：fc = 40 kHz（fs/12.5），PM = 60°。取 R1 = 10 kΩ。
3. 3被控对象在 40 kHz 处：|Gvc| = 0.160（−15.9 dB），P = −84.7°。
4. 4Boost = 60° + 84.7° − 90° = 54.7°，因此 k = tan(72.4°) ≈ 3.15。零点落在 12.7 kHz，极点落在 126 kHz。
5. 5G = 1 / 0.160 ≈ 6.27。C2 = 1 / (2π · 40 kHz · 6.27 · 10 kΩ · 3.15) ≈ 20.2 pF，C1 = 20.2 pF · (3.15² − 1) ≈ 180 pF，R2 = 3.15 / (2π · 40 kHz · 180 pF) ≈ 69.7 kΩ。
6. 6换成标准元件 R2 = 68 kΩ、C1 = 180 pF、C2 = 22 pF 后，算得环路在约 38.8 kHz 处穿越，相位裕度为 58.6°。
7. 7再加入位于 250 kHz、Q = 2/π 的采样双极点，在同一穿越频率下相位裕度降到约 45°。这仍然可以接受，但也说明纸面上按 60° 设计的环路，上了实验台就不是 60° 了。

以上数据是用本文的模型数值计算得到的，尚未与实际变换器的测量结果对比；Q = 2/π 的采样模型是一个假设，下一节会具体说明。

• 电流环采样：Ridley 的电流模式模型在开关频率一半处加入一个双极点，其品质因数为 Q = 1 / (π · (m_c · D' − 0.5))，其中 m_c 为斜坡补偿系数，D' = 1 − D。Q = 2/π 对应 m_c · D' = 1。斜坡补偿越少，Q 越高，fc 附近的相位损失也越大，请用你所用控制器的实际参数核算。
• 误差放大器带宽：增益带宽积有限的运放或跨导放大器会引入自身的极点。要么让它的增益带宽积明显高于补偿器在 fp 处的增益，要么把它纳入模型。
• 跨导放大器：很多集成控制器使用 gm 放大器，RC 网络接在 COMP 与地之间，而不是放在反馈通路上。零极点的思路相同，但增益公式不一样，而且分压比会进入环路增益。
• 光耦反馈：在采用 TL431 和光耦的隔离电源中，光耦的电流传输比和它自身的极点都会改变环路，经典电路还会经由 LED 电阻引入第二条通路。k 因子的思路仍然适用，但上面的元件公式就不适用了。
• 电压模式控制：电压模式 Buck 存在 LC 双极点，相位最多可滞后到 −180°，Type II 补不回来。这种情况需要带两个零点、两个极点的 Type III 补偿器。
• 公差与工作点：负载极点会随负载电流移动，陶瓷电容的容量会随直流偏置下降，所以要在最小和最大负载下、并按降额后的电容值重新核对裕量。

• 直接把采样电阻值当作 Ri，漏掉了内部电流采样放大器的增益或 COMP 分压，结果穿越频率与目标差了好几倍。
• 穿越频率离 fs/2 太近，在那里简化的被控对象模型已经描述不了变换器。
• 用的是陶瓷电容的标称容量，而不是实际直流偏置下的容量。
• 相位裕度直接照搬设计目标，没有用取整后的标准值重新计算；理想情况下，还应在反馈通路中串入一个小电阻，在其两端注入信号，用网络分析仪实测环路。
• 为了追求高相位裕度而把相位提升设得过大。高频增益随 k 增大而上升，COMP 引脚上的开关纹波可能干扰 PWM 比较器。

• H. D. Venable, "The K Factor: A New Mathematical Tool for Stability Analysis and Synthesis," Proceedings of Powercon 10, 1983.
• R. B. Ridley, "A New, Continuous-Time Model for Current-Mode Control," IEEE Transactions on Power Electronics, vol. 6, no. 2, 1991.