工作原理
在 s 域整定好的 PI 控制器，要在 MCU 或 DSP 上运行，必须先变成差分方程。常用方法得到的形式都是 u[k] = u[k-1] + b0·e[k] + b1·e[k-1]，变化的只有 b0 和 b1。本计算器给出 Tustin（双线性）、带频率预畸变的 Tustin、后向欧拉和前向欧拉的系数。对 PI 而言，前向欧拉与零阶保持（ZOH）等效完全相同。
随后在单位圆 z = e^(jωT) 上计算各离散控制器，并在你输入的频率（通常是环路穿越频率）处与连续的 Kp + Ki/(jω) 比较。伯德图画到奈奎斯特频率 fs/2，可以看到离散响应在那附近偏离连续响应。
通常更重要的是最后一项结果：采样保持损失的相位（ωT/2）和一个采样周期计算延迟再损失的相位（ωT）。它们属于环路而不属于控制器，所以换哪种离散化方法都消除不了。
设计步骤
- 1用对象模型在连续域整定 Kp、Ki，记下穿越频率。
- 2输入控制环实际运行的采样频率。如果中断隔几个 PWM 周期才执行一次，它会低于 PWM 频率。
- 3没有特别理由就选 Tustin，抄下 b0、b1。预畸变频率放在 PI 零点；若想在穿越频率处精确匹配，就设为穿越频率。
- 4从设计的相位裕度中减去这里显示的延迟相位。若结果太小，应降低穿越频率或减小延迟，换离散化方法无法找回。
公式
- 差分方程
- u[k] = u[k−1] + b0·e[k] + b1·e[k−1]
- Tustin
- b0 = Kp + Ki·T/2, b1 = −Kp + Ki·T/2
- 在 ωp 处预畸变的 Tustin
- K = ωp / tan(ωp·T/2); b0 = Kp + Ki/K, b1 = −Kp + Ki/K
- 后向欧拉
- b0 = Kp + Ki·T, b1 = −Kp
- 前向欧拉 = ZOH
- b0 = Kp, b1 = −Kp + Ki·T
- 延迟相位
- φ_ZOH = ω·T/2, φ_ZOH+1 sample = 1.5·ω·T (degrees: ×180/π)
计算示例
取 Kp = 0.5、Ki = 2000 s⁻¹（PI 零点 637 Hz）、fs = 20 kHz、穿越频率 1 kHz。Tustin 得到 b0 = 0.55、b1 = −0.45；后向欧拉为 0.60 / −0.50；前向欧拉（ZOH）为 0.50 / −0.40。1 kHz 处连续 PI 的相位为 −32.48°，Tustin 与之相差仅 0.21° 和 0.02 dB，两种欧拉方法则朝相反方向各偏约 2.6° 和 0.6 dB。再看延迟：1 kHz 时仅保持就损失 9.0°，加上一个采样的计算延迟共损失 27.0°；fs 减半到 10 kHz 则变为 54°。相位裕度不够时，应先检查采样与更新时序，而不是纠结 Tustin 还是欧拉。
常见错误
- 单位混淆：这里的 Ki 单位是 1/s，即乘在 ∫e dt 上的积分增益。若用 Ti 整定，则 Ki = Kp/Ti。
- 控制器每两个或四个 PWM 周期才运行一次，却把 PWM 频率当作 fs。T 是控制器自身的更新周期。
- 忘记抗积分饱和。上面的差分方程没有输出限幅；u 饱和时若不限幅并停止积分，大阶跃后会出现严重超调。
常见问题
应该用哪种方法？
若 PI 的穿越频率远低于 fs/10，用 Tustin。它的增益和相位最接近连续设计，并把所有稳定的连续极点映射到单位圆内。穿越频率远低于 fs 时欧拉方法也可以，在代码评审中也更容易解释。
预畸变对 PI 有什么影响？
几乎没有。预畸变让离散响应在某一个频率上精确匹配。对位于 fs/20 的 PI，系数只在小数点后第四位变化。它对陷波滤波器和谐振控制器更重要，因为那里频率本身就是关键。
为什么这里前向欧拉与 ZOH 相同？
积分器 Ki/s 的 ZOH 等效是 Ki·T/(z−1)，正好是前向欧拉积分器。比例项原样通过，所以对 PI 两种方法的 b0、b1 相同。对其他传递函数则不同。
本站的 PID 代码生成器用的是哪种方法？
生成的代码在使用积分值之前先加上 e[k]·dt，这是后向欧拉（b0 = Kp + Ki·T，b1 = −Kp）。在上面的例子中，它比连续 PI 超前约 2.6°，与延迟相比很小，但值得了解。
参考文献
- G. F. Franklin, J. D. Powell, M. L. Workman, "Digital Control of Dynamic Systems," 3rd ed., Addison-Wesley, 1998.
计算结果为工程估算值，请结合数据手册、仿真和实测验证设计。