DC-DC 变换器的滑模控制

考虑电感 L、输出电容 C、负载 R 的同步 Buck。第一个状态取电压误差，第二个状态取它的时间导数。误差的导数就是换了符号和比例的电容电流，因此可以直接测量而不必计算。

电压误差

x1 = V_ref − v_o

其导数

x2 = dx1/dt = −i_C / C = v_o/(R·C) − i_L/C

滑模面

s = α·x1 + x2

切换规律

s > 0 时 u = 1，s < 0 时 u = 0

只要状态停留在 s = 0 上，就有 dx1/dt = −α·x1，误差以时间常数 1/α 指数衰减。这个方程里没有变换器参数。人们常说的优点就在这里：在滑模面上，响应只由控制器决定，与 L、C 和负载无关。但前提是状态确实停留在面上，这正是下一个问题。

切换规律的符号很容易验证。s 为正说明输出偏低或正在下降；开关导通使电感电流上升，电容电流随之上升，x2 减小，s 回落。

需要满足两件事。从变换器可能出发的任何状态，轨迹都要朝滑模面运动（到达条件）；到达之后，两种开关状态都要从两侧把 s 推回零（存在条件）。沿 Buck 方程对 s 求导，可以简洁地写出第二个条件。

s 的变化率

ds/dt = (α − 1/(R·C))·x2 − (u·V_in − v_o)/(L·C)

等效控制（ds/dt = 0）

u_eq = [ v_o + L·C·(α − 1/(R·C))·x2 ] / V_in

滑模存在的区域

0 < u_eq < 1

在工作点附近，x2 接近零，u_eq 接近普通占空比 V_o/V_in，所以只要 V_ref 介于 0 与 V_in 之间，滑模就存在。远离工作点时，例如启动阶段，x2 可能很大，u_eq 会超出 0 到 1 的范围。此时轨迹会冲过滑模面，开关长时间停在一个状态，而控制律里没有任何一项限制电感电流，电流便一路上升。α 越大，滑模面越陡，问题越明显。实际设计会用软启动让基准缓慢上升，或加电流限制，或两者兼用。

仿真让同步 Buck 从 0 V 启动，稳定后在中途把负载电阻减半。上图是 (x1, x2) 平面中的启动轨迹，虚线为滑模面；下图是输出电压和电感电流随时间的变化。可以把 α 设到 50000 以上，观察启动时轨迹冲过滑模面；也可以在两种实现之间切换，比较开关频率。

模型：理想开关、同步整流，不含 ESR、DCR、检测延迟和电流限制，以 10 ns 固定步长积分。PWM 模式在 u_eq 上加入把状态拉回滑模面的项 λ·s，λ 在内部固定。这只是演示思路的例子，并非参考文献中控制器的原样实现。实际硬件存在本模型忽略的延迟和寄生参数，数值请当作趋势看待。

理想滑模控制器会无限快地切换。实际控制器在 s = 0 两侧设置 ±κ 的滞环宽度，由它决定开关频率。接近稳态时 α·x1 项远小于 x2，滞环宽度几乎全部由电容电流、也就是电感纹波构成。

滞环宽度对应的纹波

ΔI_L ≈ 2·κ·C

开关频率

f_sw ≈ V_o·(1 − V_o/V_in) / (L·ΔI_L)

按图表默认值（24 V 降到 12 V、47 µH、ΔI = 1 A）约为 128 kHz，仿真结果与之相差不过几个百分点。把 V_in 改成 36 V，估算值升到约 170 kHz；改成 18 V 则降到约 85 kHz。改变负载几乎没有影响，这在 CCM 下是个好性质。麻烦的是对输入电压的依赖：输入滤波器、磁性元件和 EMI 裕量都是按某个频率设计的，而这个频率在输入范围内会变化一倍。

常见的解决办法直接来自上式：用实测的 V_in 和 V_o 计算滞环宽度，使算出的频率保持恒定，这就是自适应滞环。它能把稳态频率稳住，但瞬态时频率仍会变化，而且滞环计算依赖于 L 的取值。

在机械系统里，抖振是不连续控制带来的麻烦，需要设法抑制。在变换器中，不连续的就是开关本身，所以"抖振"其实就是开关纹波，无法消除。真正会出问题的是纹波比滞环宽度所预示的更大、更不规则。

• 延迟。比较器、栅极驱动和开关的响应都需要时间，s 在每个边沿都会越过滞环。纹波变大，频率低于估算值；频率越高，延迟占周期的比例越大，影响越明显。
• x2 上的噪声。对输出电压求导会放大开关噪声。直接测量电容电流（与 C 串联的采样电阻或电流互感器）更干净。输出用电解或聚合物电容时，ESR 上的纹波本身就近似电容电流，这也是滞环纹波型稳压器无需单独检测就能工作的原因。
• 比较器误翻转。滞环不足时，边沿后的振铃会再次越过阈值，造成多次翻转。在每个边沿后加消隐有帮助。

等效控制 u_eq 是平均意义下保持 ds/dt 为零的占空比。把它送入普通 PWM 调制器，滑模控制器就变成把滑模面写进增益里的定频控制器。Tan、Lai、Tse 针对 Buck、Boost 和 Buck-Boost 系统地发展了这一方法，并给出了增益设计公式和 PWM 形式下的存在条件。

单靠 u_eq 只能把 s 保持在当前位置，并不会把状态拉到滑模面上。图表为此加入 λ·s 项，使平均 s 以 λ 决定的速率衰减。这样一来，控制器的行为很像对输出电压和电容电流的状态反馈。这并非巧合：滑模面 s = α·x1 + x2 本身就是误差的比例-微分组合，而对开关取平均后，让控制器呈非线性的部分大多消失了。

数字实现中有一个容易踩的坑。如果每个周期只在开通沿采样一次 x2，那么采样点总是落在电感纹波的谷底。采样值因此偏移纹波一半除以 C，环路会带着约 ΔI/(2·C·α) 的电压误差稳定下来。按图表默认值在 100 kHz 下运行，误差超过 1 V。图表对上一周期内的 x2 取平均以消除偏移；在导通区间中点采样也有同样效果。

Buck 是容易处理的情形，因为开关经由电感和电容直接驱动输出。Boost 或 Buck-Boost 中，提高占空比会先减少向输出侧的能量传递，之后才增加。这就是平均模型中的右半平面零点，它意味着只用输出电压误差及其导数构造的滑模面，面上的运动是不稳定的。

• 改为在电感电流上滑动：s = i_L − I_ref，I_ref 由较慢的外层电压环给出。内环表现得像峰值或平均电流模式控制，外环用常规线性方法设计。
• 或者加入更多状态。Tan、Lai、Tse 在 Boost 的 PWM 型设计中使用电压误差、其导数和其积分。积分项可以消除有限滞环宽度和非理想元件留下的稳态误差。
• 无论哪种方式，都要在整个输入和负载范围内检查存在条件。Boost 的条件比 Buck 更苛刻，通常在轻载或输入电压两端最先失效。

滑模电压控制能给出受负载影响不大的快速大信号响应，滞环实现所需硬件也很少：几路检测信号、一个求和节点和一个比较器即可。因此在 POL 变换器和滞环型稳压器 IC 中都能见到它。代价是：若不加约束，开关频率会漂移；对检测延迟和噪声敏感；设计也难以用多数评审者期待的伯德图来说明。

如果变换器已经采用定频数字控制，带等效控制项的 PWM 形式通常更省事，也可以直接与按经典方法设计的 Type II/III 补偿器 对比。Buck 电压环实验室 展示了同类被控对象上的线性方案。

1. 1α 先取在 LC 谐振角频率的几倍以内，并远低于开关角频率。本文默认值下 LC 谐振约 2.3 kHz，α = 5000 s⁻¹ 对应 200 µs 的时间常数。
2. 2根据想要的纹波确定滞环宽度，再用上面的公式检查最低和最高 V_in 下的频率。
3. 3在加入实际电流限制的情况下仿真启动和短路恢复，到达阶段就发生在这些场合。
4. 4在实验台上同时观察比较器输出和开关节点。若出现多余的边沿，或频率明显低于估算值，就要检查 x2 通路中的延迟或噪声。

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