Clarke·Park 변환 애니메이션

3상에서 2축으로: Clarke 변환

3선식에서는 세 상전류의 합이 항상 0이므로 독립인 것은 두 개뿐입니다. Clarke 변환은 a, b, c를 서로 직교하는 두 축에 투영합니다. α는 a 상 방향, β는 그보다 90° 앞선 방향이며 α = (2/3)(a − b/2 − c/2), β = (2/3)(√3/2)(b − c)입니다. 계수 2/3 덕분에 진폭 불변이 되어, 피크 1인 평형 3상은 길이 1의 공간 벡터가 되고 전기 주파수로 회전합니다.

αβ 그림은 0°, 120°, 240° 방향 축을 따라 놓인 세 상의 성분을 머리와 꼬리로 이어 그 벡터를 만듭니다. 각 성분은 상전류에 따라 길어졌다 짧아지고, 그 합은 원을 그립니다.

전력 불변형은 2/3 대신 √(2/3)를 씁니다. 그러면 벡터가 √(3/2) ≈ 1.22배 길어지고, 변환한 값으로 구한 전력이 3상 전력과 바로 같아집니다. 진폭 불변형에서는 P = (3/2)(v_d·i_d + v_q·i_q), 전력 불변형에서는 P = v_d·i_d + v_q·i_q입니다. 둘 다 맞으며, 문제는 섞어 쓸 때 생깁니다. 예를 들어 전류 제한은 한쪽 규약으로, 토크 상수는 다른 쪽 규약으로 가져오는 경우입니다. 위에서 계수를 바꾸면 원이 그만큼 커집니다.

정지 좌표에서 회전 좌표로: Park 변환

αβ 벡터는 여전히 회전하므로 α와 β도 여전히 정현파입니다. Park 변환은 각도 θ로 회전하는 축에서 이 벡터를 봅니다. d = α·cos θ + β·sin θ, q = −α·sin θ + β·cos θ이며, θ가 벡터를 따라가면 dq 좌표에서 벡터가 멈춰 있고 d와 q는 일정합니다.

여기서는 θ = 0에서 d 축을 a 상 축에 맞추는 규약을 씁니다. 따라서 위상 차가 없는 코사인 a 상 전류는 d가 진폭과 같고 q = 0입니다. 교재나 소프트웨어 라이브러리에 따라 q 축을 a 상에 맞추거나 상전류를 사인으로 정의하기도 하는데, 그러면 d와 q의 역할이 바뀌거나 부호가 뒤집힙니다. 다른 자료와 숫자를 비교하기 전에 어떤 정렬을 쓰는지 확인하세요.

부하각 슬라이더는 전류를 기준보다 φ만큼 늦춥니다. 이 규약에서 지상 전류는 d = cos φ, q = −sin φ가 되므로, φ가 커지면 dq 그림의 화살표가 시계 방향으로 돕니다.

네 그림 읽는 법

첫 번째 그림은 상전류의 최근 두 주기를 보여 주며 현재 순간이 오른쪽 끝에 있습니다. 두 번째는 정지 αβ 평면의 공간 벡터와, 좌표계 각도로 회전하는 점선 d, q 축, 그리고 최근 한 주기의 회색 궤적을 보여 줍니다. 세 번째는 같은 벡터를 회전 좌표계 안에서 본 모습이고, 네 번째는 시간에 따른 d와 q입니다. 좌표계가 동기되어 있고 외란이 없으면 세 번째 그림의 화살표는 움직이지 않고 네 번째 그림의 파형은 평평한 직선입니다.

외란이 dq에서 보이는 모습

좌표계 속도 오차: θ가 전류보다 비율 s만큼 빠르거나 느리면 벡터가 dq 좌표에서 돌아가고, d와 q는 s·f로 진동합니다. 속도 관측기나 PLL의 추정이 틀렸을 때 생기는 모습이며, 50 Hz에서 10 % 오차면 두 축에 5 Hz 맥놀이가 생깁니다.

5고조파: 3상의 5고조파는 5f로 역방향 회전합니다. f로 정방향 회전하는 좌표에서 보면 −6f로 돌기 때문에 d와 q에 6f 리플로 나타납니다. 인버터 데드타임이 흔한 원인입니다. 7고조파는 7f로 정방향 회전하므로 역시 6f에 나타납니다.

역상분: 불평형 3상에는 f로 역방향 회전하는 성분이 들어 있습니다. dq 좌표에서는 2f로 나타나고, αβ 평면의 궤적은 타원이 됩니다. 불평형 계통에 연결된 컨버터가 바로 이 리플을 겪으며, 그래서 −θ로 회전하는 두 번째 좌표계를 두고 역상분을 따로 제어하는 제어기도 있습니다.

영상분: 세 상에 똑같이 들어 있는 성분은 a − b/2 − c/2와 b − c에서 정확히 상쇄되므로 α, β 성분이 없습니다. 값 표시의 영상분 γ에만 나타나고 d와 q는 그대로입니다. 3선식에서는 영상분 전류가 흐를 수 없지만 영상분 전압은 걸 수 있으며, 3고조파 주입과 공간 벡터 변조가 이를 이용해 선형 변조 범위를 넓힙니다.

펌웨어에서는

벡터 제어기는 측정 전류에 Clarke 변환, 회전자나 계통 각도로 Park 변환을 적용하고, d와 q에 PI 제어기를 둔 뒤, 역 Park·역 Clarke 변환이나 공간 벡터 변조로 세 상의 듀티를 만듭니다. 3선식에서는 두 전류만 독립이므로 많은 드라이브가 두 상만 측정하고 세 번째는 −(a + b)로 계산합니다.

Park 변환에 쓰는 각도는 전류 샘플과 같은 순간의 값이어야 합니다. 전류는 PWM 주기의 한 지점에서 샘플링했는데 각도는 반 주기 뒤의 값을 쓰면 좌표계가 ω·Δt만큼 돌아가 있고, 이는 속도가 높을수록 커지는 d–q 간 교차 결합으로 나타납니다. PWM, ADC, 제어 인터럽트 사이의 타이밍은 별도의 시각 자료에서 다룹니다.