동작 원리
전압 모드에서는 듀티가 LC 필터를 구동하므로 플랜트에 LC 공진의 2중 극점이 있습니다. 공진을 지나면 위상이 한 decade 안에 −180° 가까이 떨어지고, 이를 되돌려 주는 것은 출력 커패시터의 ESR 영점 정도입니다. 그래서 공진보다 한참 높은 곳에서 교차시키려면 보상기가 위상을 올려 줘야 하고, 그 양은 대개 Type II가 낼 수 있는 90°를 넘습니다.
플랜트는 PWM 이득 1/V_ramp를 포함한 CCM 평균화 모델입니다. 부스트는 공진 주파수가 D′ = V_in/V_out에 따라 움직이고, 인덕터 때문에 D′²R/L에 우반면 영점이 생깁니다. 이 영점은 보통 영점처럼 이득은 올리면서 위상은 깎기 때문에 크로스오버 주파수의 상한이 됩니다.
Venable k 팩터는 크로스오버 f_c와 위상 여유라는 두 목표를 소자값으로 바꿔 줍니다. 필요한 부스트는 PM − 90° − (f_c에서 Gvd의 위상)입니다. Type II는 영점 하나를 f_c/k, 극점 하나를 f_c·k에 두고, Type III는 2중 영점을 f_c/√k, 2중 극점을 f_c·√k에 둡니다. 중간 대역 이득은 f_c에서 루프 크기가 정확히 1이 되도록 정합니다.
분압 하단 저항은 연산증폭기의 가상 접지에 붙어 있어서 DC 출력 전압만 정하고 AC 루프 이득에는 들어가지 않습니다. 보상 회로망은 R1만 기준으로 계산합니다. 저항은 E24, 커패시터는 E12로 맞춘 뒤 그 값으로 루프를 다시 계산하고, 화면의 크로스오버와 여유도 이 값 기준입니다.
설계 절차
- 1전력단의 특징 주파수를 구합니다. LC 공진 f0와 Q, ESR 영점, 부스트라면 최악 조건(최소 V_in, 최대 부하)의 우반면 영점입니다.
- 2크로스오버를 정합니다. 벅은 대략 f_s/10까지, 그리고 f0보다 충분히 높게 잡고, 부스트는 우반면 영점의 약 1/5 아래로 잡습니다.
- 3f_c에서 플랜트 이득과 위상을 읽고 부스트를 계산합니다. 90° 미만이면 Type II, 약 90°~150°면 Type III를 쓰고, 그보다 크면 f_c나 여유 목표를 낮춥니다.
- 4R1을 정하고(수 kΩ에서 수십 kΩ이면 커패시터 값이 현실적이고 연산증폭기 부하도 가볍습니다), k 팩터 식으로 소자값을 구한 뒤 출력 전압에 맞게 R_bias를 정합니다.
- 5표준값으로 맞추고, 그 값으로 크로스오버, 위상 여유, 이득 여유를 다시 확인합니다. 입력 전압과 부하의 양 끝 조건에서도 반복합니다.
공식
- 벅 플랜트 (제어 → 출력)
- Gvd = (V_in/V_ramp)·(1 + s·C·ESR) / (1 + s/(Q·ω0) + s²/ω0²), ω0 = 1/√(LC), Q = 1/(√(L/C)/R + DCR·√(C/L))
- 부스트 플랜트 (제어 → 출력)
- Gvd = (V_out/(D′·V_ramp))·(1 − s·L/(D′²·R))·(1 + s·C·ESR) / (1 + s/(Q·ω0) + s²/ω0²), D′ = V_in/V_out, ω0 = D′/√(LC), Q = 1/(√(L/C)/(D′·R) + DCR·√(C/L)/D′)
- 필요한 위상 부스트
- boost = PM − 90° − ∠Gvd(j·2π·f_c), G = 1 / |Gvd(j·2π·f_c)|
- Type II (Venable)
- k = tan(boost/2 + 45°); C2 = 1/(k·ω_c·R1·G), C1 = C2·(k² − 1), R2 = k/(ω_c·C1)
- Type III (Venable)
- k = tan²(boost/4 + 45°); C2 = 1/(ω_c·G·R1), C1 = C2·(k − 1), R2 = √k/(ω_c·C1), R3 = R1/(k − 1), C3 = 1/(ω_c·√k·R3)
- 분압 하단 저항
- R_bias = R1·V_ref / (V_out − V_ref)
계산 예시
기본값은 12 V를 3.3 V, 10 W(R ≈ 1.09 Ω)로 바꾸는 벅이고, L = 4.7 µH, C = 100 µF, ESR 5 mΩ, f_s = 500 kHz, V_ramp = 1 V입니다. LC 공진은 7.34 kHz, Q ≈ 5.0입니다. f_c = 50 kHz에서 플랜트는 −11.5 dB, −169.4°이므로 위상 여유 60°를 얻으려면 139.4°의 부스트가 필요하고, Type II로는 안 됩니다. Type III에서 k ≈ 31.1이고 영점은 8.96 kHz, 극점은 279 kHz에 옵니다. R1 = 10 kΩ일 때 R2 ≈ 6.92 kΩ, R3 ≈ 332 Ω, C1 ≈ 2.57 nF, C2 ≈ 85.2 pF, C3 ≈ 1.72 nF입니다. 표준값 6.8 kΩ, 330 Ω, 2.7 nF, 82 pF, 1.8 nF로 맞추면 루프는 51.3 kHz에서 교차하고 위상 여유는 61.0°입니다. V_ref = 0.8 V라면 하단 저항은 3.2 kΩ입니다.
흔한 실수
- 정격 입력에서만 설계하면 안 됩니다. 벅의 플랜트 이득은 V_in에 비례하므로, 컨트롤러에 전압 피드포워드가 없으면 입력 범위에 따라 크로스오버가 움직입니다.
- 커패시터를 확인하지 않고 ESR 영점을 믿는 실수가 흔합니다. 세라믹 커패시터는 ESR이 수 mΩ이라 영점이 크로스오버보다 한참 위에 생기고, 위상에는 거의 도움이 안 됩니다.
- 연산증폭기의 이득 대역폭(GBW)을 빼먹기 쉽습니다. 보상기 극점 부근에서 필요한 이득이 오차 증폭기의 개루프 이득보다 충분히 낮아야 실제 응답이 설계대로 나옵니다.
- 부스트의 크로스오버를 우반면 영점 쪽으로 밀어붙이면 안 됩니다. 이 영점이 깎는 위상은 보상할 수 없고, 저입력·최대 부하에서는 영점이 더 내려옵니다.
자주 묻는 질문
전압 모드 벅에는 왜 대부분 Type III가 필요한가요?
LC 공진 위에서는 플랜트 위상이 −180°에 가까워서, ESR 영점이 크로스오버 근처에 있지 않으면 위상 여유 60°를 얻는 데 90°가 훨씬 넘는 부스트가 필요합니다. Type II로는 90° 이상을 낼 수 없습니다. ESR 영점이 크로스오버보다 낮은 전해 커패시터라면 Type II로 될 때도 있지만, 세라믹 커패시터에서는 거의 안 됩니다.
부스트는 크로스오버를 어디까지 올릴 수 있나요?
D′²R/L의 우반면 영점은 이득은 올리고 위상은 깎으며, 어떤 보상기로도 상쇄할 수 없습니다. f_c는 이 주파수의 약 1/5 아래로 두고, 영점이 가장 낮아지는 최소 입력 전압·최대 부하 조건에서 확인하세요.
분압 하단 저항은 왜 루프 이득에 들어가지 않나요?
연산증폭기 오차 증폭기에서는 반전 입력이 V_ref로 고정되어 하단 저항 양단에 AC 신호가 생기지 않습니다. AC 이득은 피드백 임피던스를 V_out에서 본 입력 임피던스(R1, 또는 R1과 R3 + C3의 병렬)로 나눈 값입니다. 트랜스컨덕턴스 증폭기(OTA)는 분압비가 루프에 들어가므로 이 계산을 그대로 쓰면 안 됩니다.
V_ramp는 무슨 역할을 하나요?
PWM 비교기는 제어 전압을 1/V_ramp의 이득으로 듀티로 바꾸므로, 플랜트 이득이 이 값에 그대로 비례합니다. 램프 진폭은 컨트롤러 데이터시트에서 확인하세요. 입력 전압 피드포워드가 있는 컨트롤러는 램프를 V_in에 비례해 키우므로, 입력 범위 전체에서 벅의 루프 이득이 일정하게 유지됩니다.
계산 결과는 공학적 추정치입니다. 데이터시트, 시뮬레이션, 측정으로 설계를 확인하세요.