3상 인버터 DC 링크 커패시터를 RMS 전류로 정하기

상전류는 기본파의 매끄러운 정현파지만 DC 링크는 이를 그대로 보지 않습니다. 브리지는 스위칭 주기마다 상전류를 DC 레일에 조각조각 연결하므로, 링크에서 나가는 전류는 펄스열 i_dc = s_a·i_a + s_b·i_b + s_c·i_c입니다. 그 평균은 유효 전력을 U_dc로 나눈 값이고 DC 전원이 공급합니다. 나머지는 커패시터가 공급합니다.

평형 정현파 전류라면 i_dc에 기본파나 2배 주파수 성분이 없습니다. 2f 리플이 지배적인 단상 인버터와 다른 점입니다. 그래서 커패시터 전류는 고주파입니다. 기본파가 50 Hz든 400 Hz든 거의 달라지지 않고 스위칭 주파수에도 둔감합니다. 아래 시뮬레이션에서 5 kHz와 20 kHz의 RMS는 다섯 자리까지 같습니다.

커패시터 RMS 전류 (Kolar & Round)

I_C,rms = I_N,rms · √( 2M · [ √3/(4π) + cos²φ · (√3/π − 9M/16) ] )

상전류 진폭 Î로 쓰면

I_C,rms = Î · √( M · [ √3/(4π) + cos²φ · (√3/π − 9M/16) ] )

변조 지수

M = Û_phase / (U_dc / 2)

DC 평균 전류

I_dc = (3/4) · M · Î · cos φ

제곱근 앞의 전류는 상전류 RMS입니다. 여기에 진폭을 넣으면 41 % 크게 나온다는 것을 아래 시뮬레이션이 보여 줍니다.

검증으로 정현파 상전류, 10 kHz 대칭 캐리어, 50 Hz 기본파의 이상적인 3상 브리지를 시뮬레이션해 기본파 한 주기에서 i_dc의 평균을 뺀 RMS를 구했습니다. 정현파 PWM과 중심 정렬 공간 벡터 변조는 표의 모든 점에서 같은 RMS를 내고, 둘 다 공식과 0.01 % 안으로 일치합니다. 공간 벡터 변조는 선형 범위 끝인 M = 1.15에서도 일치합니다.

M = 0.5: φ = 0°, 30°, 60°

시뮬레이션 0.6387, 0.5834, 0.4532 · I_N,rms

M = 0.8: φ = 0°, 30°, 60°

시뮬레이션 0.6186, 0.5849, 0.5109 · I_N,rms

M = 1.0: φ = 0°, 30°, 60°

시뮬레이션 0.5033, 0.5088, 0.5197 · I_N,rms

공식과 시뮬레이션의 가정이 같으므로 이렇게 잘 맞는 것은 이상적인 경우입니다. 공식은 AC 측 전류 리플과 데드타임을 무시합니다. 논문 초록은 시뮬레이션·측정과 약 8 % 안에서 일치한다고 하며, 실제 인버터에서는 이 정도를 기대하는 것이 맞습니다.

역률 1에서 스트레스는 M = 0.61에서 최대이고 I_C,rms = 0.65·I_N,rms입니다. "상전류의 약 0.65배"라는 경험칙이 여기서 나옵니다. M = 1에서는 0.50까지 떨어집니다. cos φ가 낮아지면 최대점은 높은 M으로 옮겨 가며 완만해집니다. cos φ = 0.9에서 M = 0.64일 때 0.61, 0.7에서 M = 0.74일 때 0.55, 0.5에서 M = 0.98일 때 0.52입니다.

이 점은 드라이브에서 중요합니다. 정격 토크로 약 60 % 속도에서 도는 전동기는 전류는 최대인 채로 M = 0.6 근처에 있습니다. 정격점(높은 M)만 보고 정한 뱅크는 실제로 오래 머무는 속도 영역에서 부족할 수 있습니다. 토크-속도 전체 범위에서 가장 큰 값으로 정하세요. 범위를 모르면 0.65·I_N,rms가 안전한 상한입니다.

1. 1U_dc = 400 V, I_N = 50 A rms (Î = 70.7 A), M = 0.8, cos φ = 0.9.
2. 2제곱근 값은 0.593이고 I_C,rms = 29.7 A입니다. 시뮬레이션은 29.66 A입니다.
3. 3DC 평균 전류는 (3/4)·0.8·70.7·0.9 = 38.2 A, 즉 15.3 kW입니다. 3·(113 V rms)·50 A·0.9도 같은 15.3 kW입니다.
4. 4C = 100 µF, f_s = 10 kHz에서 추정식 I_C,rms/(2π·f_s·C)는 4.7 V입니다.
5. 5시뮬레이션은 스위칭 주기 안에서 평균 9.3 V, 최대 12 V peak-peak를 보입니다. 추정값을 peak-peak로 읽으면 여기서는 2~2.5배 작습니다.

I_C,rms/(2π·f_s·C)는 자릿수를 볼 때만 쓰세요. 펄스열을 정현파 하나로 취급한 식입니다. 리플 전압이 설계를 제한한다면 실제 파형을 시뮬레이션하세요.

두 종류는 서로 반대 이유로 크기가 정해집니다. 필름은 ESR이 매우 낮고 µF당 리플 전류가 커서 전압 리플이나 정전 유지 시간으로 크기가 정해지는 경우가 많습니다. ESR 2 mΩ, 5.8 K/W를 가정하면 위의 29.7 A로 약 10 K 오르므로 여유가 있습니다. 전해는 부피당 커패시턴스가 훨씬 크지만 리플 전류가 훨씬 작습니다. 이 주파수에서 개당 3 A를 가정하면 같은 전류에 약 10개를 병렬로 써야 하고, 그러면 설계에 필요한 커패시턴스보다 많아지는 것이 보통입니다. 두 수치는 설명용 가정이니 실제 데이터시트 값을 쓰세요.

전해는 전압 제약도 있습니다. 여유를 둔 400 V 링크에는 대개 450 V나 500 V 부품, 또는 낮은 전압 부품 두 개를 직렬로 하고 전압 균형을 잡는 구성이 필요합니다. 수명은 코어 온도에 크게 좌우되니 실제 전류 분배를 커패시터 수명 계산기로 확인하세요. 정격 리플에는 데이터시트의 주파수 배수를 적용해야 합니다. 뱅크는 돌입 에너지도 정하며, 프리차지 저항 계산기가 이를 계산합니다. 뱅크 자체의 발열은 열 계산기로 봅니다.

DC 전원 자체의 리플도 더해집니다. 6펄스 다이오드 정류기는 300 Hz나 360 Hz 전류를 더하는데 인버터 공식에는 들어 있지 않습니다. 주파수가 다르므로 두 RMS는 제곱합의 제곱근으로 더합니다. 전해 커패시터의 정격은 저주파와 고주파가 다르니 따로따로 확인하세요.

RMS 계산은 전류 전환 루프에 대해 아무것도 말해 주지 않습니다. 스위칭 에지마다 상전류 전체가 수십 ns 안에 소자와 커패시터 사이를 옮겨 가고, 루프 인덕턴스는 이를 소자의 전압 오버슈트로 바꿉니다. RMS 정격이 맞아도 연결이 긴 대형 뱅크는 스위치에 과전압을 줄 수 있습니다. 적층 버스바, 각 하프 브리지 가까이의 저ESL 필름 커패시터, 병렬 부품이 이를 줄입니다. 흔한 구성은 에너지용 전해에 모듈 바로 옆의 작은 필름이나 세라믹을 더하는 것입니다. 이때는 두 뱅크 사이의 공진을 조심하고, 전류 분배를 시뮬레이션이나 로고스키 코일로 확인하세요. 분배는 커패시턴스가 아니라 임피던스로 정해집니다.

• J. W. Kolar, S. D. Round, "Analytical calculation of the RMS current stress on the DC-link capacitor of voltage-PWM converter systems," IEE Proc. Electr. Power Appl., vol. 153, no. 4, pp. 535–543, 2006.