Clarke 変換・Park 変換のアニメーション

三相から 2 軸へ：Clarke 変換

三線式では三相電流の和が常にゼロなので、独立なのは 2 つだけです。Clarke 変換は a、b、c を互いに直交する 2 軸に投影します。α は a 相の方向、β はそれより 90° 進んだ方向で、α = (2/3)(a − b/2 − c/2)、β = (2/3)(√3/2)(b − c) です。係数 2/3 によって振幅不変になり、ピーク 1 の平衡三相は長さ 1 の空間ベクトルとなって電気周波数で回転します。

αβ の図は、0°、120°、240° の軸に沿った各相の成分を頭と尾でつないでこのベクトルを作ります。各成分は相電流に応じて伸び縮みし、その和が円を描きます。

電力不変形は 2/3 の代わりに √(2/3) を使います。するとベクトルは √(3/2) ≈ 1.22 倍長くなり、変換後の量から求めた電力が三相電力にそのまま一致します。振幅不変形では P = (3/2)(v_d·i_d + v_q·i_q)、電力不変形では P = v_d·i_d + v_q·i_q です。どちらも正しく、問題は混ぜて使うことです。たとえば電流制限を一方の規約で、トルク定数をもう一方の規約で取るような場合です。上で係数を切り替えると円がそれだけ大きくなります。

静止座標から回転座標へ：Park 変換

αβ ベクトルはまだ回転しているので、α と β もまだ正弦波です。Park 変換は角度 θ で回転する軸からこのベクトルを見ます。d = α·cos θ + β·sin θ、q = −α·sin θ + β·cos θ で、θ がベクトルに追従すると dq 座標でベクトルは静止し、d と q は一定になります。

ここでは θ = 0 で d 軸を a 相の軸に合わせる規約を使います。そのため位相ずれのない余弦の a 相電流では d が振幅に等しく、q = 0 です。教科書やソフトウェアライブラリによっては q 軸を a 相に合わせたり、相電流を正弦で定義したりしており、その場合 d と q の役割が入れ替わったり符号が反転したりします。ほかの資料と数値を比べる前に、どの合わせ方かを確認してください。

負荷角のスライダーは電流を指令より φ だけ遅らせます。この規約では遅れ電流は d = cos φ、q = −sin φ となるので、φ を大きくすると dq の図の矢印は時計回りに回ります。

4 つの図の見方

1 つ目の図は相電流の直近 2 周期で、現在の瞬間が右端にあります。2 つ目は静止 αβ 平面の空間ベクトルと、座標系の角度で回転する破線の d、q 軸、直近 1 周期の灰色の軌跡です。3 つ目は同じベクトルを回転座標系の中から見たもの、4 つ目は d と q の時間変化です。座標系が同期していて外乱がなければ、3 つ目の図の矢印は動かず、4 つ目の図の波形は水平な直線になります。

外乱は dq でどう見えるか

座標系の速度ずれ：θ が電流より比率 s だけ速いか遅いと、ベクトルは dq 座標の中を回り、d と q は s·f で振動します。速度オブザーバや PLL の推定が外れたときの姿で、50 Hz で 10 % ずれると両軸に 5 Hz のうなりが出ます。

第 5 高調波：三相の第 5 高調波は 5f で逆方向に回転します。f で正方向に回る座標系から見ると −6f で回るので、d と q に 6f のリップルとして現れます。インバータのデッドタイムがよくある原因です。第 7 高調波は 7f で正方向に回り、やはり 6f に現れます。

逆相分：不平衡な三相には f で逆方向に回る成分が含まれます。dq 座標では 2f として現れ、αβ 平面の軌跡は楕円になります。不平衡な系統につながる変換器はまさにこのリップルを受けるので、−θ で回る第 2 の座標系を設けて逆相分を別に制御する制御器もあります。

零相分：三相に等しく含まれる成分は a − b/2 − c/2 と b − c で正確に打ち消されるので、α、β 成分を持ちません。値の表示の零相分 γ にだけ現れ、d と q は変わりません。三線式では零相電流は流れませんが零相電圧はかけられ、第 3 高調波注入や空間ベクトル変調はこれを使って線形変調範囲を広げています。

ファームウェアでは

ベクトル制御器は測定電流に Clarke 変換、回転子や系統の角度で Park 変換をかけ、d と q に PI 制御器を置き、逆 Park・逆 Clarke 変換か空間ベクトル変調で三相のデューティを作ります。三線式では独立な電流は 2 つだけなので、多くのドライブは 2 相だけを測り、3 相目を −(a + b) で計算します。

Park 変換に使う角度は、電流サンプルと同じ瞬間の値でなければなりません。電流を PWM 周期のある点でサンプリングしたのに角度は半周期後の値を使うと、座標系が ω·Δt だけ回ってしまい、速度が高いほど大きくなる d–q 間の干渉として現れます。PWM、ADC、制御割り込みの間のタイミングは別の図解で扱います。