動作原理
定常状態では、各素子の熱は接合–ケース熱抵抗 R_θJC と熱界面材料 R_θCS を通り、すべての素子が共有するヒートシンクへ流れます。ヒートシンクは R_θSA と総損失の積だけ周囲より高くなるので、同じヒートシンク上の素子は互いの熱でも温められます。各素子の接合温度は、共通のヒートシンク温度に自分の温度差を足したものです。
実務では逆の問い、つまりヒートシンクにどれだけの性能が必要かの方が役に立つことが多くあります。素子ごとに T_j,max から余裕、周囲温度、自分のケースと TIM の温度差を引くと許されるヒートシンクの温度上昇が得られ、それを総損失で割るとその素子での R_θSA の上限になります。その最小値が要求値で、それを決める素子がいつも損失最大の素子とは限りません。
熱界面は熱抵抗 t/(k·A) の薄い層です。パッドやグリースは熱伝導率で表示されますが、効くのは締め付け圧力で圧縮された厚さと、タブやベースのうち実際に接触している面積です。
パルス負荷では、接合温度は過渡熱インピーダンス Z_th に従って変化し、データシートはこれを R_i/τ_i の Foster 回路 Z_th(t) = Σ R_i(1 − e^(−t/τ_i)) として示します。単発パルスは接合を P·Z_th(t_p) だけ上昇させます。繰り返しパルスでは各 RC 要素がそれぞれの周期定常に落ち着き、それには閉じた解があるので近似は不要です。ケース温度は一定とし、Infineon AN2008-03 はヒートシンクが素子よりずっと遅い場合にこの仮定が成り立つと述べています。重ね合わせ近似は平均値 D·R_th に最後のパルスの応答 Z(t_p) を加え、(1 − D)·Z(T + t_p) − Z(T) の項で 1 周期 T 前に始まった直前のパルスを補正します。
設計手順
- 1最悪の動作点での各素子の損失、R_θJC、T_j,max を集め、余裕を決めます。
- 2熱界面材料の R_θCS を、圧縮後の厚さ、熱伝導率、実際の接触面積から計算するか、パッドのデータシートから求めます。
- 3許容最大 R_θSA とそれを決める素子を確認し、実際の風量と向きでそれより熱抵抗の低いヒートシンクを選びます。
- 4選んだ R_θSA を入力し、すべての接合温度とヒートシンク温度を確認します。
- 5パルス動作なら、データシートの Foster の組とパルス電力、幅、周期を入力し、ケース温度には定常状態の結果を使います。平均値ではなく周期の最高値を確認します。
- 6定格負荷でヒートシンクかケースの温度を測って確認します。
計算式
- 共通ヒートシンクノード
- T_s = T_a + R_θSA·ΣP_k, T_c,i = T_s + P_i·R_θCS,i, T_j,i = T_c,i + P_i·R_θJC,i
- 許容最大ヒートシンク熱抵抗
- R_θSA,max = min_i [ (T_j,max,i − 余裕 − T_a − P_i·(R_θJC,i + R_θCS,i)) / ΣP_k ]
- 熱界面
- R_θCS = t / (k·A)
- Foster 熱インピーダンス
- Z_th(t) = Σ R_i·(1 − e^(−t/τ_i)), Z_th(∞) = Σ R_i, 単発パルス ΔT_j = P·Z_th(t_p)
- 周期定常（厳密解）
- ΔT_max = P·Σ R_i·(1 − e^(−t_p/τ_i)) / (1 − e^(−T/τ_i)), ΔT_min = Σ ΔT_i,max·e^(−(T − t_p)/τ_i)
- 重ね合わせ近似
- Z(t_p, D) ≈ D·R_th + (1 − D)·Z(T + t_p) − Z(T) + Z(t_p)
計算例
R_θJC = 0.5 K/W、損失 20 W の MOSFET 2 個と、1.0 K/W、8 W のダイオード 1 個が、周囲 40 °C で 0.8 K/W のヒートシンクを共有します。それぞれ 3 W/m·K、厚さ 250 µm、250 mm² のパッドの上にあり、R_θCS = 0.333 K/W です。総損失 48 W でヒートシンクは 78.4 °C です。MOSFET はケース 85.1 °C、接合 95.1 °C、ダイオードはケース 81.1 °C、接合 89.1 °C です。T_j,max（MOSFET 175 °C、ダイオード 150 °C）から 25 °C の余裕を取ると、ダイオードが限界を決め、ヒートシンクは 1.55 K/W まで許容されます。過渡の計算では、一般的な例の Foster 回路（0.1 ms で 0.05 K/W、1 ms で 0.15、10 ms で 0.25、100 ms で 0.05、合計 0.5 K/W）に 100 W、1 ms のパルスを 10 ms ごとに加え、ケースを 85 °C に固定します。単発パルスで接合は 16.9 K 上がって 101.9 °C になります。周期定常では 87.0 °C と 103.8 °C の間を行き来し（ケースより 2.01～18.77 K 高い）、平均電力だけで見ると 90.0 °C にとどまります。重ね合わせ近似は 19.11 K で、厳密解より 1.8 % 高くなります。
よくある間違い
- TIM の公称厚さを使うこと。パッドは圧縮され、グリースは圧力で薄くなり、結果は締め付け力と平面度に左右されます。
- データシートの R_θSA をそのまま信じること。特定の風量と向きでの値であり、広いベース上の小さな熱源は熱がうまく広がりません。
- パルス負荷を平均電力だけで評価すること。接合温度は平均より上に振れ、例では最高値が平均電力による見積もりより 13.8 K 高くなります。
- Foster 回路をケースで分割したり、ヒートシンクの Foster 回路とつないだりして、ノードを物理的なものとして扱うこと。内部ノードはケースにもどの層にも対応しません。
- 同じヒートシンク上の他の素子を忘れること。その損失が全員のヒートシンク温度を押し上げ、余裕の最も小さい素子がヒートシンクの選定を決めます。
よくある質問
Foster 回路からケース温度を読み取れますか？
できません。Infineon AN2008-03 が指摘するとおり、Foster 回路の RC 要素は測定した Z_th 曲線に合わせた値で、ノードに物理的意味はありません。ノードが素子の層に対応するのは Cauer（はしご形）回路だけで、与えられたインピーダンスに対する Foster 回路から Cauer 回路への変換結果は一意ですが、フィッティングしたデータから得た Cauer の素子値は物理的な層の値ではありません。同じ理由で、素子の Foster モデルをヒートシンクのモデルと直列につなぐと、熱が遅れなくヒートシンクに届くことになり、実際とは異なります。
ヒートシンクのデータシートの R_θSA はそのまま使えますか？
測定条件、つまり風量、フィンの向き、取り付け方法、そして通常はベース全体に広がった熱源という条件でのみ成り立ちます。フィンが水平の自然対流、近くの筐体の壁、広いベースの中央に小さな素子が 1 つだけ、といった条件では熱抵抗がはっきり大きくなることがあります。余裕で吸収するか、実際の組み立て状態でヒートシンク温度を測ってください。
周期定常を近似式ではなく厳密解で求めるのはなぜですか？
Foster 回路の各 RC 要素には閉じた形の周期解があるので、厳密な最高値・最低値を求める手間は近似式と変わりません。よく使われる重ね合わせの式 Z(t_p, D) ≈ D·R_th + (1 − D)·Z(T + t_p) − Z(T) + Z(t_p) も比較のため表示しており、例では 1.8 % 高くなります。
ケース温度を一定とみなせるのはどんな場合ですか？
パルス周期がヒートシンクの時定数よりずっと短い場合です。空冷ヒートシンクの応答は通常数十～数百秒なので、ms 単位のパルス列から見るとベース温度はほぼ一定です。水冷のコールドプレートははるかに速く、Infineon AN2008-03 はその場合システム全体の Z_th を測定するよう勧めています。
式はどのように検証しましたか？
スクリプトで確認しました。長時間での Foster の和は ΣR_i（0.5 K/W）に等しく、単発パルスの上昇 P·Z_th(t_p) = 16.910 K は RC 回路を RK4 で積分した値と 6 桁以上一致します。厳密な周期最高値 18.768 K は 120 周期の時間積分、およびグラフに使う冷えた状態からのパルス列計算と一致し、定常状態の例は手計算でも確認しました。
計算結果は工学的な推定値です。データシート、シミュレーション、実測で設計を確認してください。